论文阅读笔记:各种 Optimizer 梯度下降优化算法回顾和总结

技术讨论 Cynthia-yawain ⋅ 于 2周前 ⋅ 93 阅读

标题:An overview of gradient descent optimization algorithms
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不管是使用PyTorch还是TensorFlow,用多了Optimizer优化器封装好的函数,对其内部使用的优化算法却没有仔细研究过,也很难对其优点和缺点进行实用的解释。所以打算以这一篇论文为主线并结合多篇优秀博文,回顾和总结目前主流的优化算法,对于没有深入了解过的算法,正好借这个机会学习一下。

写在前面

当前使用的许多优化算法,是对梯度下降法的衍生和优化。在微积分中,对多元函数的参数求 $\theta$ 偏导数,把求得的各个参数的导数以向量的形式写出来就是梯度。梯度就是函数变化最快的地方。梯度下降是迭代法的一种,在求解机器学习算法的模型参数 $\theta$ 时,即无约束问题时,梯度下降是最常采用的方法之一。

这里定义一个通用的思路框架,方便我们后面理解各算法之间的关系和改进。首先定义待优化参数 $\theta$ ,目标函数 $J(\theta)$ ,学习率为 $\eta$ ,然后我们进行迭代优化,假设当前的epoch为 $t$ ,则有:

  • 计算目标函数关于当前参数的梯度: $gt = \triangledown{\theta_t} J(\theta_t)$
  • 根据历史梯度计算一阶动量和二阶动量: $m_t=\phi(g_1,g_2,...,g_t);V_t=\psi(g_1,g_2,...,g_t)$ ,
  • 计算当前时刻的下降梯度: $\triangledown_t=\eta\cdot \frac{m_t}{\sqrt{V_t}}$
  • 根据下降梯度进行更新: $\theta_{t+1} = \theta_t -\triangledown_t$

其中, $\theta_{t+1}$ 为下一个时刻的参数, $\theta_t$ 为当前时刻 $t$ 参数,后面的描述我们都将结合这个框架来进行。

这里提一下一些概念:

  • 鞍点:一个光滑函数的鞍点邻域的曲线,曲面,或超曲面,都位于这点的切线的不同边。例如这个二维图形,像个马鞍:在x-轴方向往上曲,在y-轴方向往下曲,鞍点就是(0,0)。

  • 指数加权平均、偏差修正:可参见这篇文章

什么是指数加权平均、偏差修正? - 郭耀华 - 博客园​www.cnblogs.com图标

Gradient Descent(GD)

在GD中没有动量的概念,也就是说在上述框架中: $m_t=g_t;V_t=I^2$ ,则我们在当前时刻需要下降的梯度就是 $\triangledown_t=\eta\cdot g_t$ ,则使用梯度下降法更新参数为(假设当前样本为 $(x_i,y_i)$ ,每当样本输入时,参数即进行更新):

$$
\theta_{t+1}=\theta_t-\triangledown_t=\theta_t-\eta\cdot g_t=\thetat-\eta\cdot \triangledown{\theta_t} J_i(\theta_t,x_i,y_i)
$$

梯度下降算法中,模型参数的更新调整,与代价函数关于模型参数的梯度有关,即沿着梯度的方向不断减小模型参数,从而最小化代价函数。基本策略可以理解为”在有限视距内寻找最快路径下山“,因此每走一步,参考当前位置最陡的方向(即梯度)进而迈出下一步,更形象的如下图:

标准的梯度下降主要有两个缺点:

  • 训练速度慢:在应用于大型数据集中,每输入一个样本都要更新一次参数,且每次迭代都要遍历所有的样本,会使得训练过程及其缓慢,需要花费很长时间才能得到收敛解。
  • 容易陷入局部最优解:由于是在有限视距内寻找下山的反向,当陷入平坦的洼地,会误以为到达了山地的最低点,从而不会继续往下走。所谓的局部最优解就是鞍点,落入鞍点,梯度为0,使得模型参数不在继续更新。

Batch Gradient Descent(BGD)

BGD相对于标准GD进行了改进,改进的地方通过它的名字应该也能看出来,也就是不再是想标准GD一样,对每个样本输入都进行参数更新,而是针对一个批量的数据输入进行参数更新。我们假设批量训练样本总数为 $n$ ,样本为 ${(x_1,y_1),..,(x_n, y_n)}$ ,则在第 $i$ 对样本 $(x_i,yi)$ 上损失函数关于参数的梯度为 $\triangledown\theta J_i(\theta, x_i, y_i)$ , 则使用BGD更新参数为:

$$
\theta_{t+1}=\thetat-\eta\cdot\frac{1}{n}\cdot\sum{i=1}^{n}\triangledown_{\theta_t} J_i(\theta_t, x_i, y_i)
$$

从上面的公式我们可以看到,BGD其实是在一个批量的样本数据中,求取该批量样本梯度的均值来更新参数,即每次权值调整发生在批量样本输入之后,而不是每输入一个样本就更新一次模型参数,这样就会大大加快训练速度,但是还是不够,我们接着往下看。

Stochastic Gradient Descent(SGD)

随机梯度下降法,不像BGD每一次参数更新,需要计算整个数据样本集的梯度,而是每次参数更新时,仅仅选取一个样本 $(x_i,y_i)$ 计算其梯度,参数更新公式为:

$$
\theta_{t+1}=\thetat-\eta\cdot\triangledown{\theta_t} J_i(\theta_t, x_i, y_i)
$$

公式看起来和上面标准GD一样,但是注意了,这里的样本是从批量中随机选取一个,而标准GD是所有的输入样本都进行计算。可以看到BGD和SGD是两个极端,SGD由于每次参数更新仅仅需要计算一个样本的梯度,训练速度很快,即使在样本量很大的情况下,可能只需要其中一部分样本就能迭代到最优解,由于每次迭代并不是都向着整体最优化方向,导致梯度下降的波动非常大(如下图),更容易从一个局部最优跳到另一个局部最优,准确度下降。

论文中提到,当缓慢降低学习率时,SGD会显示与BGD相同的收敛行为,几乎一定会收敛到局部(非凸优化)或全局最小值(凸优化)。

SGD的优点:

  • 虽然看起来SGD波动非常大,会走很多弯路,但是对梯度的要求很低(计算梯度快),而且对于引入噪声,大量的理论和实践工作证明,只要噪声不是特别大,SGD都能很好地收敛。
  • 应用大型数据集时,训练速度很快。比如每次从百万数据样本中,取几百个数据点,算一个SGD梯度,更新一下模型参数。相比于标准梯度下降法的遍历全部样本,每输入一个样本更新一次参数,要快得多。

SGD的缺点:

  • SGD在随机选择梯度的同时会引入噪声,使得权值更新的方向不一定正确(次要)。
  • SGD也没能单独克服局部最优解的问题(主要)。

Mini-batch Gradient Descent(MBGD,也叫作SGD)

小批量梯度下降法就是结合BGD和SGD的折中,对于含有 $n$ 个训练样本的数据集,每次参数更新,选择一个大小为 $m(m<n)$ 的mini-batch数据样本计算其梯度,其参数更新公式如下:

$$
\theta_{t+1}=\thetat-\eta\cdot\frac{1}{m}\cdot\sum{i=x}^{i=x+m-1}\triangledown_{\theta_t} J_i(\theta_t, x_i, y_i)
$$

小批量梯度下降法即保证了训练的速度,又能保证最后收敛的准确率,目前的SGD默认是小批量梯度下降算法。常用的小批量尺寸范围在50到256之间,但可能因不同的应用而异。

MBGD的缺点:

  • Mini-batch gradient descent 不能保证很好的收敛性,learning rate 如果选择的太小,收敛速度会很慢,如果太大,loss function 就会在极小值处不停地震荡甚至偏离(有一种措施是先设定大一点的学习率,当两次迭代之间的变化低于某个阈值后,就减小 learning rate,不过这个阈值的设定需要提前写好,这样的话就不能够适应数据集的特点)。对于非凸函数,还要避免陷于局部极小值处,或者鞍点处,因为鞍点所有维度的梯度都接近于0,SGD 很容易被困在这里(会在鞍点或者局部最小点震荡跳动,因为在此点处,如果是BGD的训练集全集带入,则优化会停止不动,如果是mini-batch或者SGD,每次找到的梯度都是不同的,就会发生震荡,来回跳动)。
  • SGD对所有参数更新时应用同样的 learning rate,如果我们的数据是稀疏的,我们更希望对出现频率低的特征进行大一点的更新, 且learning rate会随着更新的次数逐渐变小。

Momentum

momentum算法思想:参数更新时在一定程度上保留之前更新的方向,同时又利用当前batch的梯度微调最终的更新方向,简言之就是通过积累之前的动量来加速当前的梯度。从这里开始,我们引入一阶动量的概念(在mini-batch SGD的基础之上),也就是说,在最开始说的框架中, $m_{t+1}=\beta1\cdot m{t}+(1-\beta_1)\cdot g_t$ ,而 $V_t=I^2$ 不变,参数更新公式如下:

$$
m_{t+1}=\beta1\cdot m{t}+(1-\beta1)\cdot \triangledown{\theta_t} J_i(\thetat)\\theta{t+1}=\thetat-m{t+1}
$$

一阶动量是各个时刻梯度方向的指数移动平均值,约等于最近 $\frac{1}{(1-\beta_1)}$ 个时刻的梯度向量和的平均值(移动平均是啥看最上面的文章)。也就是说, $t$ 时刻的下降方向,不仅由当前点的梯度方向决定,而且由此前累积的下降方向决定。 $\beta_1$ 的经验值为0.9,这就意味着下降方向主要是此前累积的下降方向,并略微偏向当前时刻的下降方向。在梯度方向改变时,momentum能够降低参数更新速度,从而减少震荡,在梯度方向相同时,momentum可以加速参数更新, 从而加速收敛,如下图:

动量主要解决SGD的两个问题:

  • 随机梯度的方法(引入的噪声)
  • Hessian矩阵病态问题(可以理解为SGD在收敛过程中和正确梯度相比来回摆动比较大的问题)。

Nesterov Accelerated Gradient

NAG(Nesterov accelerated gradient)算法,是Momentum动量算法的变种。momentum保留了上一时刻的梯度 $\triangledown_\theta J(\theta)$ ,对其没有进行任何改变,NAG是momentum的改进,在梯度更新时做一个矫正,具体做法就是在当前的梯度上添加上一时刻的动量 $\beta_1\cdot mt$ ,梯度改变为 $\triangledown\theta J(\theta-\beta_1\cdot m_t)$ ,参数更新公式如下:

$$
m_{t+1}=\beta1\cdot m{t}+(1-\beta1)\cdot \triangledown{\theta_t} J(\theta_t-\beta_1\cdot mt)\\theta{t+1}=\thetat-m{t+1}
$$

加上nesterov项后,梯度在大的跳跃后,进行计算对当前梯度进行校正。 下图是momentum和nesterrov的对比表述图如下:

Nesterov动量梯度的计算在模型参数施加当前速度之后,因此可以理解为往标准动量中添加了一个校正因子。在凸批量梯度的情况下,Nesterov动量将额外误差收敛率从 $O(1/k)$ (k步后)改进到 $O(1/k^2)$ ,然而,在随机梯度情况下,Nesterov动量对收敛率的作用却不是很大。

Momentum和Nexterov都是为了使梯度更新更灵活。但是人工设计的学习率总是有些生硬,下面介绍几种自适应学习率的方法。

Adagrad

Adagrad其实是对学习率进行了一个约束,对于经常更新的参数,我们已经积累了大量关于它的知识,不希望被单个样本影响太大,希望学习速率慢一些;对于偶尔更新的参数,我们了解的信息太少,希望能从每个偶然出现的样本身上多学一些,即学习速率大一些。而该方法中开始使用二阶动量,才意味着“自适应学习率”优化算法时代的到来。

我们前面都没有好好的讨论二阶动量,二阶动量是个啥?它是用来度量历史更新频率的,二阶动量是迄今为止所有梯度值的平方和,即 $Vt = \sum{i=1}^tg_t^2$ ,在最上面的框架中 $\triangledown_t=\eta\cdot \frac{m_t}{\sqrt{V_t}}$ (在这里 $m_t=I$ ), 也就是说,我们的学习率现在是 $\frac{\eta}{\sqrt{V_t+\epsilon}}$ (一般为了避免分母为0,会在分母上加一个小的平滑项 $\epsilon$ ),从这里我们就会发现 $\sqrt{V_t+\epsilon}$ 是恒大于0的,而且参数更新越频繁,二阶动量越大,学习率就越小,这一方法在稀疏数据场景下表现非常好,参数更新公式如下:

$$
Vt = \sum{i=1}^tgt^2\\theta{t+1}=\theta_t-\eta\frac{1}{\sqrt{V_t+\epsilon}}
$$

细心的小伙伴应该会发现Adagrad还是存在一个很明显的缺点:

  • 仍需要手工设置一个全局学习率 $\eta$ , 如果 $\eta$ 设置过大的话,会使regularizer过于敏感,对梯度的调节太大
  • 中后期,分母上梯度累加的平方和会越来越大,使得参数更新量趋近于0,使得训练提前结束,无法学习

Adadelta

由于AdaGrad调整学习率变化过于激进,我们考虑一个改变二阶动量计算方法的策略:不累积全部历史梯度,而只关注过去一段时间窗口的下降梯度,即Adadelta只累加固定大小的项,并且也不直接存储这些项,仅仅是近似计算对应的平均值(指数移动平均值),这就避免了二阶动量持续累积、导致训练过程提前结束的问题了,参数更新公式如下:

$$
V_t = \beta2\cdot V{t-1} + (1-\beta2)(\triangledown{\theta_t} J(\thetat))^2\\theta{t+1}=\theta_t-\eta\frac{1}{\sqrt{V_t+\epsilon}}
$$

观察上面的参数更新公式,我们发现还是依赖于全局学习率 $\eta$ ,但是原作者在此基础之上做出了一定的处理,上式经过牛顿迭代法之后,得到Adadelta最终迭代公式如下式,其中 $gt = \triangledown{\theta_t} J(\theta_t)$ :

$$
E[g_t^2]_t=\rho\cdot E[gt^2]{t-1}+(1-\rho)\cdot g_t^2\\triangledownt=\frac{\sum{i=1}^{t-1}\triangle\theta_r}{\sqrt{E[g_t^2]_t+\epsilon}}
$$

此时可以看出Adadelta已经不依赖全局learning rate了,Adadelta有如下特点:

  • 训练初中期,加速效果不错,很快
  • 训练后期,反复在局部最小值附近抖动

RMSprop

RMSProp算法修改了AdaGrad的梯度平方和累加为指数加权的移动平均,使得其在非凸设定下效果更好。设定参数:全局初始率 $\eta$ , 默认设为0.001,decay rate $\rho$ ,默认设置为0.9,一个极小的常量 $\epsilon$ ,通常为10e-6,参数更新公式如下,其中 $gt = \triangledown{\theta_t} J(\theta_t)$ :

$$
E[g_t^2]_t=\rho\cdot E[gt^2]{t-1}+(1-\rho)\cdot g_t^2\\triangledown_t=\frac{\eta}{\sqrt{E[g_t^2]_t+\epsilon}}\cdot g_t
$$

  • 其实RMSprop依然依赖于全局学习率 $\eta$
  • RMSprop算是Adagrad的一种发展,和Adadelta的变体,效果趋于二者之间
  • 适合处理非平稳目标(包括季节性和周期性)——对于RNN效果很好

Adaptive Moment Estimation(Adam)

其实有了前面的方法,Adam和Nadam的出现就很理所当然的了,因为它们结合了前面方法的一阶动量和二阶动量。我们看到,SGD-M和NAG在SGD基础上增加了一阶动量,AdaGrad和AdaDelta在SGD基础上增加了二阶动量,参数更新公式如下(按照最开始总结的计算框架):

$$
m_{t+1}=\beta1\cdot m{t}+(1-\beta1)\cdot \triangledown{\theta_t} J_i(\thetat)\V{t+1} = \beta2\cdot V{t} + (1-\beta2)(\triangledown{\theta_t} J(\thetat))^2\\theta{t+1}=\thetat-\eta\frac{m{t+1}}{\sqrt{V_{t+1}+\epsilon}}
$$

通常情况下,默认值为 $\beta_1=0.9$ 、 $\beta_2=0.999$ 和 $\epsilon=10^{-8}$ ,Adam通常被认为对超参数的选择相当鲁棒,特点如下:

  • Adam梯度经过偏置校正后,每一次迭代学习率都有一个固定范围,使得参数比较平稳。
  • 结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点
  • 为不同的参数计算不同的自适应学习率
  • 也适用于大多非凸优化问题——适用于大数据集和高维空间。

AdaMax

Adamax是Adam的一种变体,此方法对学习率的上限提供了一个更简单的范围,即使用无穷范式,参数更新公式如下:

$$
m_{t+1}=\beta1\cdot m{t}+(1-\beta1)\cdot \triangledown{\theta_t} J_i(\thetat)\V{t+1} = \beta2^\infty\cdot V{t} + (1-\beta2^\infty)(\triangledown{\theta_t} J(\theta_t))^\infty=max(\beta_2\cdot Vt, |\triangledown{\theta_t}J(\thetat)|)\\theta{t+1}=\thetat-\eta\frac{m{t+1}}{\sqrt{V_{t+1}+\epsilon}}
$$

通常情况下,默认值为 $\beta_1=0.9$ 、 $\beta_2=0.999$ 和 $\eta=0.002$

Nadam

其实如果说要集成所有方法的优点于一身的话,Nadam应该就是了,Adam遗漏了啥?没错,就是Nesterov项,我们在Adam的基础上,加上Nesterov项就是Nadam了,参数更新公式如下:

$$
m_{t+1}=\beta1\cdot m{t}+\frac{(1-\beta_1)}{(1-\beta1^t)}\cdot \triangledown{\theta_t} J_i(\thetat)\V{t+1} = \beta2\cdot V{t} + (1-\beta2)(\triangledown{\theta_t} J(\thetat))^2\\theta{t+1}=\thetat-\eta\frac{m{t+1}}{\sqrt{V_{t+1}+\epsilon}}
$$

可以看出,Nadam对学习率有更强的约束,同时对梯度的更新也有更直接的影响。一般而言,在使用带动量的RMSprop或Adam的问题上,使用Nadam可以取得更好的结果。

来张直观的动态图展示上述优化算法的效果:

  • 下图描述了在一个曲面上,6种优化器的表现:

file

  • 下图在一个存在鞍点的曲面,比较6中优化器的性能表现:

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  • 下图图比较了6种优化器收敛到目标点(五角星)的运行过程

file

总结

那种优化器最好?该选择哪种优化算法?目前还没能够达达成共识。Schaul et al (2014)展示了许多优化算法在大量学习任务上极具价值的比较。虽然结果表明,具有自适应学习率的优化器表现的很鲁棒,不分伯仲,但是没有哪种算法能够脱颖而出。

目前,最流行并且使用很高的优化器(算法)包括SGD、具有动量的SGD、RMSprop、具有动量的RMSProp、AdaDelta和Adam。在实际应用中,选择哪种优化器应结合具体问题;同时,也优化器的选择也取决于使用者对优化器的熟悉程度(比如参数的调节等等)。

  • 对于稀疏数据,尽量使用学习率可自适应的优化方法,不用手动调节,而且最好采用默认值
  • SGD通常训练时间更长,但是在好的初始化和学习率调度方案的情况下,结果更可靠
  • 如果在意更快的收敛,并且需要训练较深较复杂的网络时,推荐使用学习率自适应的优化方法。
  • Adadelta,RMSprop,Adam是比较相近的算法,在相似的情况下表现差不多。
  • 在想使用带动量的RMSprop,或者Adam的地方,大多可以使用Nadam取得更好的效果
  • 如果验证损失较长时间没有得到改善,可以停止训练。
  • 添加梯度噪声(高斯分布 $N(0,\sigma_t^2)$ )到参数更新,可使网络对不良初始化更加健壮,并有助于训练特别深而复杂的网络。

参考文献

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